【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,其焦距为
,点
在椭圆
上,
,直线
的斜率为
(
为半焦距)·
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆的切线
交椭圆
于
两点(
为坐标原点),求证:
;
(3)在(2)的条件下,求的最大值
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)由题意知 ,
,解得
即可.
(2)(i)当切线与坐标轴垂直时,满足,(ii)当切线与坐标轴不垂直时,设圆的切线为y=kx+m,得
,A(x1,y1),B(x2,y2),利用
,即可证明.
(3 )当切线与坐标轴垂直时|OA||OB|=4,当切线与坐标轴不垂直时,由(2)知,且
,即可得OA|
|OB|的最大值.
(1)连接,由题意知
,
设
即
解得
,
椭圆的方程为
.
(2)(i)当切线与坐标轴垂直时,交点坐标为,满足
.
(ii)当切线与坐标轴不垂直时,设切线为
由圆心到直线距离为
联立椭圆方程得
恒成立,设
满足 .
(3 )当切线与坐标轴垂直时
当切线与坐标轴不垂直时,由(2)知
.
令
当且仅当时等号成立,
综上所述,的最大值为
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【题目】某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控,确保居民在小区封闭期间生活不受影响,小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应,超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查,得到了以下频率分布直方图.
(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率,求至少有两户购买量在(单位:
)的概率是多少?
②若抽取的5户中购买量在(单位:
)的户数为2户,从5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在
(单位:
)的户数为
,求
的分布列和期望;
(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较,当超出平均购买量不少于时,则称该居民户称为“迫切需求户”,若从小区随机抽取10户,且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大,试求k的值.
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【题目】已知、
是椭圆
上不同的两点,
的中点坐标为
.
(1)证明:直线经过椭圆
的右焦点.
(2)设直线不经过点
且与椭圆
相交于
,
两点,若直线
与直线
的斜率的和为1,试判断直线
是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.
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【题目】下列命题中,错误命题是
A. “若,则
”的逆命题为真
B. 线性回归直线必过样本点的中心
C. 在平面直角坐标系中到点和
的距离的和为
的点的轨迹为椭圆
D. 在锐角中,有
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程和
的直角坐标方程;
(2)直线与曲线
,
分別交于第一象限内
,
两点,求
.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线过焦点
且与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
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【题目】已知函数,
.
(1)当 时,求函数
图象在点
处的切线方程;
(2)当时,讨论函数
的单调性;
(3)是否存在实数,对任意
,
且
有
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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