Question

3．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈[-1，$\frac{1}{2}$]，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数定义取到R的奇函数的性质：f（0）=0求解实数a的值．
（2）利用定义法证明其单调性．
（3）利用（2）函数的单调性，将不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立等价变换后求解实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意：∵函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即$a-\frac{2}{{2}^{0}-1}=0$，
解得：a=1．
当a=1时，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$
f（-x）═$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），∴f（x）是奇函数．
故得a=1满足题意．
所以：a=1．
（2）由（1）可知f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
设x₁＜x₂，那么：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$
所以：f（x₁）-f（x₂）＜0；
故，函数f（x）为R上的增函数．
（3）由（2）知：函数f（x）为R上的增函数，且f（x）是奇函数．
从而不等式：f（t²+2）+f（t²-tk）＞0等价于f（t²+2）＞f（-t²⁺tk），即得：t²+2＞-t²⁺tk．
∴2t²-tk+2＞0对任意于t∈[-1，$\frac{1}{2}$]，恒成立．
记g（t）=2t²-tk+2，开口向上，对称轴x=$\frac{k}{4}$，则g（t）在∈[-1，$\frac{1}{2}$]上的最小值大于0．即恒成立．
①当$\frac{k}{4}$＜-1时，即k＜-4时，g（t）=2t²-tk+2在[-1，$\frac{1}{2}$]上是单调增函数，
g（t）_min=g（-1）=4+k＞0，解得：k＞-4，
故得k无解，
②当-1≤$\frac{k}{4}$$≤\frac{1}{2}$时，即-4≤k≤2时，g（t）_min=g（$\frac{k}{4}$）=2-$\frac{{k}^{2}}{8}$＞0，解得：4＞k＞-4，
故得-4＜k≤2．
③当$\frac{k}{4}$＞$\frac{1}{2}$时，即k＞2时，g（t）=2t²-tk+2在[-1，$\frac{1}{2}$]上是单调减函数，
g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5-k}{2}$＞0，解得：k＜5，
故得2＜k＜5，
综上所述：实数k的取值范围是{k|-4＜k＜5}．

点评 本题考查了函数的性质之奇函数的运用，单调性的证明以及恒等式的问题的转化为二次函数最值的讨论．属于难题．