Question

（2013•崇明县一模）已知函数f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos2x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的值域以及函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，易得周期；
（2）由x的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案．

解答：解：（1）由三角函数公式化简可得
f（x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+cos2x
=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3

4

π]，
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，所以f(x)∈[-1，

2

]
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
结合定义域可得：函数的增区间为[-

π

4

，

π

8

]，
同理可得函数的减区间为[

π

8

，

π

4

]

点评：不同考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题．