Question

1．（1）求二项式（x+2）¹⁰展开式中系数最大的项；
（2）记（x+2）ⁿ展开式中最大的二项式系数为a_n，求证：数列{a_n}单调递增；
（3）给定不小于3的正整数n，试写出数列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由（x+2）¹⁰的展开式的通项公式Tr+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r-1，列方程组，$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，即可求得r的值，即可求得展开式中系数最大的项；
（2）n为奇数，a_n=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$+${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$＞a_n，同理可知：n为偶数，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n}{2}-1}$+${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞a_n，即可证明：数列{a_n}单调递增；
（3）${C}_{n}^{k+1}$-${C}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k），当k＜$\frac{n-1}{2}$时，${C}_{n}^{k}$＜${C}_{n}^{k+1}$，当k＞$\frac{n-1}{2}$时，${C}_{n}^{k}$＞${C}_{n}^{k+1}$，分别讨论当n为奇数及n为偶数时，根据二项式的展开可知，离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大．

解答 解：（1）由（x+2）¹⁰的展开式的通项公式Tr+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{19}{3}$≤r≤$\frac{22}{4}$，即r=7，
二项式（x+2）¹⁰展开式中系数最大的项T₈=${C}_{10}^{7}$x³•2⁷=15360x³；
（2）证明：若n为奇数，则n+1为偶数，a_n=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，
∴a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$+${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$＞a_n，
若n为偶数，则n+1为奇数，a_n=${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}+1}$，
∴a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n}{2}-1}$+${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞a_n，
综上可知：数列{a_n}单调递增；
（3）数列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大，
证明：${C}_{n}^{k+1}$-${C}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k），
当k＜$\frac{n-1}{2}$时，${C}_{n}^{k}$＜${C}_{n}^{k+1}$，
当k＞$\frac{n-1}{2}$时，${C}_{n}^{k}$＞${C}_{n}^{k+1}$，其中k=0，1，2，…，n-1．
若n为奇数，${C}_{n}^{0}$＜${C}_{n}^{1}$＜${C}_{n}^{2}$＜…＜${C}_{n}^{\frac{n-3}{2}}$＜${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，
${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$＞${C}_{n}^{\frac{n+3}{2}}$＞…＞${C}_{n}^{n-1}$＞${C}_{n}^{n}$，
 若n为偶数，${C}_{n}^{0}$＜${C}_{n}^{1}$＜${C}_{n}^{2}$＜…＜${C}_{n}^{\frac{n-2}{2}}$＜${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$，
${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞${C}_{n}^{\frac{n+2}{2}}$＞…＞${C}_{n}^{n-1}$＞${C}_{n}^{n}$．

点评 本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的通项公式及性质，考查分类讨论思想，属于中档题．