Question

6．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）f（x）=$\sqrt{3}sin（{2x-\frac{C}{2}}）+2{sin^2}（{x-\frac{π}{12}}）$在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，
得：a²+b²-c²=ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∴在△ABC中，$C=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$C=\frac{π}{3}$，
∴$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{6}}）+2{sin^2}（{x-\frac{π}{12}}）$
=$\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{6}}）-cos（{2x-\frac{π}{6}}）+1$
=$2sin（{2x-\frac{π}{6}-\frac{π}{6}}）+1$
=$2sin（{2x-\frac{π}{3}}）+1$，
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{3}}）≤1$，
∴$1-\sqrt{3}≤2sin（{2x-\frac{π}{3}}）+1≤3$，
∴函数f（x）的值域为$[{1-\sqrt{3}，3}]$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，考查余弦定理的应用，是一道中档题．