Question

15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：
①函数f（x）的图象关于坐标原点对称；
②?x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；
③?k∈R，使方程f（x）=k没有的实数根；
④若数列{a_n}是公差为$\frac{π}{3}$的等差数列，且f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，则a₂=π．
其中的正确命题有①②④．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①根据奇函数的性质可直接判断；
②构造函数，利用导函数判断函数的单调性，求出最值即可；
③根据函数的连续性和值域可判断；
④根据函数表达式和题意可判断．

解答 解：①函数f（x）为奇函数，故图象关于坐标原点对称，故正确；
②?x＞0，f（x）-3x
=sin2x-2，
令g（x）=sin2x-2，g'（x）=2（cos2x-1）＜0，
∴g（x）递减，g（x）＜g（0）=0，
∴f（x）＜3x恒成立，故正确；
③由函数为奇函数，且值域为（-∞，+∞），
故无论R为何值，方程f（x）=k都有实数根，故错误；
④若数列{a_n}是公差为$\frac{π}{3}$的等差数列，且f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，
∴a_l+a₂+a₃=3π，sin2a_l+sin2a₂+sin2a₃=0，
解得a₂=π，故正确．
故答案为：①②④．

点评 考查了抽象函数的奇偶性，利用导函数判断函数的单调性．