Question

7．已知函数f（x）=|x²-2x|+ax+a．
（1）当f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围；
（2）当x∈R时，求函数的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）若f（x）有两个零点，则函数y=|x²-2x|与函数y=-ax-a的图象有两个交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，数形结合可得答案．
（2）函数f（x）=|x²-2x|+ax+a=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（a-2）x+a，x＜0，或x＞2\\-{x}^{2}+（a+2）x+a，0≤x≤2\end{array}\right.$，结合二次函数的图象和性质，分类讨论可得答案．

解答 解：（1）若f（x）有两个零点，
则函数y=|x²-2x|与函数y=-ax-a的图象有两个交点，
在同一坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：

若y=-ax-a与y=x²-2x，x＜0相切，则（a-2）²-4a=0，
解得：a=4+2$\sqrt{3}$，或a=4-2$\sqrt{3}$（舍去），
若y=-ax-a与y=-x²+2x，0＜x＜2相切，则（a-2）²-4a=0，
解得：a=-4+2$\sqrt{3}$，或a=-4-2$\sqrt{3}$（舍去），
故a∈（-∞，-4+2$\sqrt{3}$）∪{0}∪（4+2$\sqrt{3}$，+∞）；
（2）函数f（x）=|x²-2x|+ax+a=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（a-2）x+a，x＜0，或x＞2\\-{x}^{2}+（a+2）x+a，0≤x≤2\end{array}\right.$，
若$-\frac{a-2}{2}＜0$，即a＞2，则$\frac{a+2}{2}$＞2，则当x=$-\frac{a-2}{2}$时，函数取最小值$-\frac{1}{4}{a}^{2}+2a-1$，
若$0≤-\frac{a-2}{2}≤2$，即-2≤a≤2，则0≤$\frac{a+2}{2}$≤2，
由f（0）=a，f（2）=3a得：
-2≤a≤0时，当x=2时，函数取最小值3a；
0＜a≤2时，当x=0时，函数取最小值a；
若$-\frac{a-2}{2}＞2$，即a＜-2，则$\frac{a+2}{2}$＜0，则当x=$-\frac{a-2}{2}$时，函数取最小值$-\frac{1}{4}{a}^{2}+2a-1$，
综上可得：函数的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}{a}^{2}+2a-1，a＜-2，或a＞2\\ 3a，-2≤a≤0\\ a，0＜a≤2\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的判定定理，二次函数的图象和性质，难度中档．