Question

2．已知a、b∈R₊，则下列各数a、b、$\sqrt{ab}$、$\frac{a+b}{2}$、$\frac{2ab}{a+b}$、$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$从小到大的顺序是a≤$\frac{2ab}{a+b}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≤b．
（a≤b）．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质、不等式的性质即可得出．

解答 解：不妨设0＜a≤b，
∴a²≤ab，∴a²+ab≤2ab，∴a≤$\frac{2ab}{a+b}$．
∵$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
∴$\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}$≤1，∴$\frac{2ab}{a+b}$≤$\sqrt{ab}$．
∵2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．
∵0＜a≤b，
∴a²≤b²，
∴a²+b²≤2b²，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≤b．
综上可得：a≤$\frac{2ab}{a+b}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≤b．
故答案为：a≤$\frac{2ab}{a+b}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≤b．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．