Question

14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB-4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²），则cosC=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．

解答 解：△ABC中，∵sinA+sinB-4sinC=0，
∴a+b=4c，
∵△ABC的周长L=5，
∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．
∵面积S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²），
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$（a²+b²）=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$[（a+b）²-2ab]=$\frac{2}{5}$ab，
∴sinC=$\frac{4}{5}$，
∵c＜a+b，C是锐角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，完全平方公式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．