Question

4．已知数列{a_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₃=3，S₃=9
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$，且{b_n}为递增数列，若c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$，求证：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，根据等比数列的前n项和公式，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a_2n+3=3•（-$\frac{1}{2}$）²ⁿ=3•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，从而可得b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$=2n，利用裂项求和法求和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
①当q=1时，符合条件a₁=a₃=3，a_n=3．
②当q≠1时，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=3}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=9}\end{array}$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=3}\\{{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）=9}\end{array}$
解得a₁=12，q=-$\frac{1}{2}$，
所以a_n=12×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
综上所述：数列{a_n}的通项公式为a_n=3（q=1）或a_n=12×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
（Ⅱ）证明：若a_n=3，则b_n=0，与题意不符；
故a_2n+3=3•（-$\frac{1}{2}$）²ⁿ=3•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，
故b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$=2n，
故c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．