Question

2．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{KN}$=0，则$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{NM}$的最小值为$\frac{23}{3}$．

Answer 1

分析 M在椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•（$\overrightarrow{KM}$-$\overrightarrow{KN}$）=$\overrightarrow{KM}$²-$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{KN}$=$\overrightarrow{KM}$²，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．

解答 解：M在椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），
则$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•（$\overrightarrow{KM}$-$\overrightarrow{KN}$）=$\overrightarrow{KM}$²-$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{KN}$=$\overrightarrow{KM}$²，
由K（2，0），可得$\overrightarrow{KM}$²=|$\overrightarrow{KM}$|²=（6cosα-2）²+（3sinα）²
=27cos²α-24cosα+13
=27（cosα-$\frac{4}{9}$）²+$\frac{23}{3}$，
当cosα=$\frac{4}{9}$时，$\overrightarrow{KM}$²取得最小值$\frac{23}{3}$，
故答案为：$\frac{23}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查余弦函数的值域，属于中档题．