Question

7．数列{a_n}是递增数列，且满足a_n+1=f（a_n），a₁∈（0，1），则f（x）不可能是（　　）

• A． f（x）=$\sqrt{x}$
• B． f（x）=2^x-1
• C． f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$
• D． f（x）=log₂（x+1）

Answer 1

分析 A．由a₁∈（0，1），可得${a}_{n+1}=\sqrt{{a}_{n}}$＞a_n，即可判断出数列{a_n}的单调性；
B．由a₁∈（0，1），不妨取a₁=$\frac{1}{2}$，则a₂=${2}^{\frac{1}{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1$＜\frac{1}{2}$，即可判断出数列{a_n}的单调性；
C：f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，令2x-x²≥0，可得得0≤x≤2．由f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，利用二次函数的单调性及其a₁∈（0，1），即可判断出数列{a_n}的单调性；
D．利用几何画板画出图象y=log₂（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log₂（x+1）＞x，即可判断出数列{a_n}的单调性．

解答 解：对于A．∵a₁∈（0，1），∴${a}_{n+1}=\sqrt{{a}_{n}}$＞a_n，可得数列{a_n}是递增数列
对于B．∵a₁∈（0，1），不妨取a₁=$\frac{1}{2}$，则a₂=${2}^{\frac{1}{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1$＜\frac{1}{2}$，因此数列{a_n}不是递增数列；
对于C：f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，令2x-x²≥0，解得0≤x≤2．由f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，可知：当0≤x≤1时，函数f（x）单调递增；当1≤x≤2时，函数f（x）单调递减．∵a₁∈（0，1），∴数列{a_n}是递增数列；
对于D．利用几何画板画出图象y=log₂（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log₂（x+1）＞x，
∴a_n+1=log₂（a_n+1）＞a_n，因此数列{a_n}是递增数列．
故选：B．

点评 本题考查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．