Question

18．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．
（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；
（Ⅱ）若$cosC=\frac{2}{3}$，求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=$\frac{2b}{3}$，余弦定理可求c=$\frac{\sqrt{5}b}{3}$，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，
sinA=$\frac{2}{3}$，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB
又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$．…（7分）
（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=$\frac{2b}{3}$，$cosC=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{4{b}^{2}}{9}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2×\frac{2b}{3}×b}$，解得：c²=$\frac{5{b}^{2}}{9}$，c=$\frac{\sqrt{5}b}{3}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\frac{4{b}^{2}}{9}+\frac{5{b}^{2}}{9}-{b}^{2}}{2ac}$=0，可得：sinB=1，
∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=$\frac{2}{3}$，A为锐角，可得cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=-cosA=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．