Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则a的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得A（-$\sqrt{a}$，0），B（0，1），F（-$\sqrt{a-1}$，0），由∠BAO+∠BFO=90°，可得tan∠BAO•tan∠BFO=1，运用直角三角形的正切函数的定义，解方程即可得到所求a的值．

解答 解：由题意可得A（-$\sqrt{a}$，0），B（0，1），F（-$\sqrt{a-1}$，0），
由∠BAO+∠BFO=90°，可得tan∠BAO•tan∠BFO=1，
即有$\frac{BO}{AO}$•$\frac{BO}{FO}$=1，即有$\frac{1}{\sqrt{a}}$•$\frac{1}{\sqrt{a-1}}$=1，
即为a²-a-1=0，a＞1，
解得a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$舍去）．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查三角函数的定义的运用，以及运算能力，属于基础题．