Question

11．已知曲线y=e^x+a与y=（x-1）²恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为（-∞，2ln2-3）．

Answer 1

分析 分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得m=$\frac{s+3}{2}$（s＞1），则有a=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），令f（s）=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围．

解答 解：y=（x-1）²的导数y′=2（x-1），y=e^x+a的导数为y′=e^x+a，
设与曲线y=e^x+a相切的切点为（m，n），y=（x-1）²相切的切点为（s，t），
则有公共切线斜率为2（s-1）=e^m+a=$\frac{t-n}{s-m}$，
又t=（s-1）²，n=e^m+a，
即有2（s-1）=$\frac{（s-1）^{2}-{e}^{m+a}}{s-m}$=$\frac{（s-1）^{2}-2（s-1）}{s-m}$
即为s-m=$\frac{s-1}{2}$-1，
即有m=$\frac{s+3}{2}$（s＞1），
则有e^m+a=2（s-1），即为a=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），
令f（s）=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），
则f′（s）=$\frac{1}{s-1}$-$\frac{1}{2}$，
当s＞3时，f′（s）＜0，f（s）递减，
当1＜s＜3时，f′（s）＞0，f（s）递增．
即有s=3处f（s）取得极大值，也为最大值，且为2ln2-3，
由恰好存在两条公切线，即s有两解，
可得a的范围是a＜2ln2-3．
故答案为：（-∞，2ln2-3）．

点评 本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．