Question

12．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=$∠IOA=\frac{π}{3}$，设$\overrightarrow{OD}=\vec a，\overrightarrow{OH}=\vec b$，已知点P在各菱形边上运动，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，x，y∈R，则x+y的最大值为4．

Answer 1

分析 以O为坐标原点，GC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设菱形的边长为2，从而求出D，H点的坐标，这样便可得到向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标．
再设P（X，Y），根据条件即可得出x+y的解析式，设x+y=z，X，Y的活动域是菱形的边上，根据线性规划的知识求出z的最大值，即求出x+y的最大值．

解答 解：如图所示
以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，
则：D（1，$\sqrt{3}$），H（-3，-$\sqrt{3}$）；
设P（X，Y），则（X，Y）=x（1，$\sqrt{3}$）+y（-3，-$\sqrt{3}$）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{X=x-3y}\\{Y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$；
∴x+y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Y-X；
设z=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Y-X；
∴Y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$X+$\frac{\sqrt{3}}{2}$z，$\frac{\sqrt{3}}{2}$z表示在y轴上的截距；
∴当截距最大时，z取到最大值；
根据图形可看出，当直线经过点E（0，2$\sqrt{3}$）时，截距最大；
∴2$\sqrt{3}$=0+$\frac{\sqrt{3}}{2}$z；
解得z=4；
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，解题时应引入变量X，Y来表示x+y，从而求x+y的最值方法，是综合性题目．