Question

3．已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=-1，数列{a_n}是以$\frac{π}{4}$为公差的等差数列，若f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，则$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2}}$=（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 2013

Answer 1

分析 函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x-cosx+c，利用f（0）=-1，可得：f（x）=2x-cosx．由数列{a_n}是以$\frac{π}{4}$为公差的等差数列，可得a_n=a₂+（n-2）×$\frac{π}{4}$．由f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，化简可得6a₂-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{4}）$=$\frac{3π}{2}$．利用单调性可得a₂，即可得出．

解答 解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，
可设f（x）=2x-cosx+c，
∵f（0）=-1，∴-1+c=-1，可得c=0．
∴f（x）=2x-cosx．
∵数列{a_n}是以$\frac{π}{4}$为公差的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）×$\frac{π}{4}$，
∵f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，
∴2（a₂+a₃+a₄）-（cosa₂+cosa₃+cosa₄）=3π，
∴6a₂+$\frac{3π}{2}$-cosa₂-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{4}）$-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{2}）$=3π，
∴6a₂-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{4}）$=$\frac{3π}{2}$．
令g（x）=6x-cos$（x+\frac{π}{4}）$-$\frac{3π}{2}$，
则g′（x）=6+sin$（x+\frac{π}{4}）$在R上单调递增，
又$g（\frac{π}{4}）$=0．
∴a₂=$\frac{π}{4}$．
则$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{π}{4}+2014×\frac{π}{4}}{\frac{π}{4}}$=2015．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．