Question

8．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x），从而求出周期T；（Ⅱ）根据x的范围，求出2x-$\frac{π}{6}$的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
（Ⅰ）$T=\frac{2π}{2}=π$；                           
（Ⅱ）∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
即$\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
由此得到：f（x）_max=1，此时$x=\frac{π}{3}$；
∴$f{（x）_{min}}=\frac{1}{2}$，此时$x=\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了三角函数变换问题，考查求函数的周期以及函数的值域问题，是一道中档题．