Question

2．己知x₀=$\frac{π}{3}$是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）

• A． （$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）
• B． （$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）
• C． （$\frac{π}{2}$，π）
• D． （$\frac{2π}{3}$，π）

Answer 1

分析 由极值点可得φ=-$\frac{π}{6}$，解2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．

解答 解：∵x₀=$\frac{π}{3}$是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，
∴sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=1，∴2×$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
不妨取φ=-$\frac{π}{6}$，此时f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
令2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$）k∈Z，
结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
故选：B．

点评 本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．