Question

2．设函数f（x）=$\sqrt{2x-2}$+$\sqrt{13-x}$的最大值为M．
（I）求两数f（x）的定义域和M的值；
（Ⅱ）是否存在实数x的值，使得|x-1|+|x+5|≤M？若存在，求出满足条件的x取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}{2x-2≥0}\\{13-x≥0}\end{array}\right.$求定义域，求导并判断f′（x）=$\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}$-$\frac{1}{2\sqrt{13-x}}$在（1，13）上是减函数，从而确定最大值点，进而求最值；
（Ⅱ）由绝对值的几何意义知|x-1|+|x+5|≤6=|1-（-5）|，从而解得．

解答 解：（I）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{2x-2≥0}\\{13-x≥0}\end{array}\right.$，
解得，1≤x≤13，
即函数f（x）的定义域为[1，13]；
由于f′（x）=$\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}$-$\frac{1}{2\sqrt{13-x}}$在（1，13）上是减函数，
令$\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}$-$\frac{1}{2\sqrt{13-x}}$=0，解得x=9；
故f（x）在[1，9]上是增函数，在[9，13]上是减函数；
故M=f（9）=$\sqrt{16}$+$\sqrt{4}$=6；
（Ⅱ）∵|x-1|+|x+5|≤6=|1-（-5）|，
∴-5≤x≤1．

点评 本题考查了函数的定义域的求法，同时考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．