Question

17．设b_n=$\frac{4}{（n+1）^{2}-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 利用平方差公式可知（n+1）²-1=n（n+2），进而裂项可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）（n∈N^*），并项相加即得结论．

解答 解：∵（n+1）²-1=n（n+2），
∴b_n=$\frac{4}{（n+1）^{2}-1}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）（n∈N^*），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=3-$\frac{4n+6}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．