Question

5．已知f′（x）是函数f（x）=ln（1+x）的导函数，设g（x）=xf′（x），x≥0．
（1）证明：f（x）≥g（x）；
（2）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，归纳并用数学归纳法证明g_n（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）构造函数，利用函数的单调性求出函数的最值即可，
（2）先猜想：g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$，利用数学归纳法证明即可．

解答 证明（1）：∵f（x）=ln（1+x），∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$．（x≥0）．
∴g（x）=$\frac{x}{1+x}$．
设h（x）=f（x）-g（x），则ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$?（1+x）ln（1+x）-x≥0．
即h（x）=（1+x）ln（1+x）-x（x≥0）．
h′（x）=ln（1+x）+1-1=ln（1+x）≥0，
∴h（x）在x≥0时单调递增，又h（0）=0，
∴h（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，
∴f（x）≥g（x）
解（2）：g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，
∵g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，
∴g₂（x）=g（g₁（x））=g（$\frac{x}{1+x}$）=$\frac{x}{1+2x}$．
g₃（x）=g（g₂（x））=g（$\frac{x}{1+2x}$）=$\frac{x}{1+3x}$，
猜想：g_n（x下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时，g_k（x）=$\frac{x}{1+kx}$．
则当n=k+1时，g_k+1（x）=g（g_k（x））=g（$\frac{x}{1+kx}$）=$\frac{\frac{x}{1+kx}}{1+\frac{x}{1+kx}}$=$\frac{x}{1+（k+1）x}$，
因此当n=k+1时，g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$也成立．
综上可得：?n∈N^*，g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$成立．

点评 本题考查了利用数学归纳法证明等式的方法、利用导数研究函数的单调性证明不等式的方法，考查了猜想能力、推理能力与计算能力，属于中档题．