Question

20．已知数列{a_n}是公比为2的等比数列，且4a₁为a_m，a_n的等比中项，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 数列{a_n}是公比为2的等比数列，且4a₁为a_m，a_n的等比中项，可得$16{a}_{1}^{2}$=a_m•a_n，化简可得m+n=6．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：数列{a_n}是公比为2的等比数列，且4a₁为a_m，a_n的等比中项，
∴$16{a}_{1}^{2}$=a_m•a_n=${a}_{1}^{2}{2}^{m+n-2}$，
∴16=2^m+n-2，
∴m+n=6．
则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）$≥$\frac{1}{6}（5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}）$≥$\frac{1}{6}（5+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}）$=$\frac{3}{2}$，当且仅当n=2m=4时取等号．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．