Question

15．已知函数$f（x）=1+\frac{a}{{{2^x}+1}}$（a∈R）为奇函数，则$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集为（log₂3，+∞）．

Answer 1

分析 根据f（x）为R上的奇函数便可得到f（0）=0，从而求出a=-2，这样解不等式$1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{2}$即可得出$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集．

解答 解：f（x）为R上的奇函数；
∴f（0）=0；
即$1+\frac{a}{1+1}=0$；
∴a=-2；
∴由$f（x）＞\frac{1}{2}$得，$1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{2}$；
整理得，2^x＞3；
∴x＞log₂3；
∴$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集为（log₂3，+∞）．
故答案为：（log₂3，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的值域，以及对数函数的单调性和对数式的运算性质．