Question

13．已知复数z=（$\frac{1+i}{1-i}$）²⁰¹⁶+（1-i）²（其中i为虚数单位）．若复数z的共扼复数为$\overline{z}$，且$\overline{z}$•z₁=4+3i．
（1）求复数z₁及z₁在复平面中对应点的坐标；
（2）若z₁是关于x的方程x²-px+q=0的一个根，求实数p，q的值，并求出方程x²-px+q=0的另一个复数根．

Answer 1

分析 （1）先求出z=1-2i，从而$\overline{z}$=1+2i，由此能求出复数z₁及z₁在复平面中对应点的坐标．
（2）由题意知（2-i）²-p（2-i）+q=0，从而得p=4，q=5．从而能求出另一个复数根．

解答 解：（1）∵z=（$\frac{1+i}{1-i}$）²⁰¹⁶+（1-i）²（其中i为虚数单位）
=i²⁰¹⁶-2i
=1-2i，
∴复数z的共扼复数为$\overline{z}$=1+2i，
∵$\overline{z}$•z₁=4+3i，
∴z₁=$\frac{4+3i}{1+2i}$=$\frac{（4+3i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{-5i+10}{5}$=2-i，
∴z₁=2-i，z₁在复平面中对应点的坐标为（2，-1）．
（2）由题意知（2-i）²-p（2-i）+q=0，
化简，得（3-2p+q）+（p-4）i=0，
∴3-2p+q=0，解得p=4，q=5．
∴方程为x²-4x+5=0，即（x-2）²=-1=i²，
解得另一个复数根为2+i．

点评 本题考查复数及在复平面内的对应点的坐标的求法，考查方程中系数值的求法，考查复数的另一个复数根的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数性质及运算法则的合理运用．