Question

【题目】已知抛物线，点为的焦点，过的直线交于，两点.

（1）设，在的准线上的射影分别为，，线段的中点为，证明：.

（2）在轴上是否存在一点，使得直线，的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）存在点满足题意.

【解析】

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x＝my+1，根据韦达定理可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，根据斜率公式，化简计算即可证明；

（2）假设存在点满足题意，设直线，的斜率分别为，，将坐标化，化简得到关于m与a的关系式，给a取值，让式子与m无关.

（1）证明：设，，，

故可设直线的方程为，

由，得，则，，

由题意可知，，，

则，.

因为 ，

所以，故.

（2）解：假设存在点满足题意，设直线，的斜率分别为，.

，，

则

.

因为，且为常数，

所以，即，

故存在点满足题意.