Question

6．如图所示，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴（含坐标原点）滑动，其中AD=4，AB=2．
（1）若∠DAO=$\frac{π}{4}$，求|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|；
（2）求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）$∠DAO=\frac{π}{4}$时，容易求出点C，D的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$的坐标，进而求出其长度
（2）可设∠DAO=θ，并过点B作BM⊥AO，过点C作CN⊥OD，垂足分别为M，N，可以求出点B，C的坐标，进行向量数量积的坐标运算求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=12sinθcosθ+12si{n}^{2}θ$，根据二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式化简得到$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=6\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）+6$，根据θ的范围即可求出该数量积的最大值．

解答 解：（1）若$∠DAO=\frac{π}{4}$，则可得：$C（\sqrt{2}，3\sqrt{2}），D（0，2\sqrt{2}）$；
∴$|{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}|=|{（\sqrt{2}，5\sqrt{2}）}|=2\sqrt{13}$；
（2）如图，

过点B作BM⊥AO，垂足为M，过点C作CN⊥OD，垂足为N，设∠DAO=θ，
则∠CDN=θ，∠ABM=θ；z∴$2θ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$z
∴点B（4cosθ+2sinθ，2sinθ），C（2sinθ，4sinθ+2cosθ）；
则$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=8sinθcosθ+4si{n}^{2}θ$+8sin²θ+4sinθcosθ
=12sinθcosθ+12sin²θ
=6sin2θ+6（1-cos2θ）
=$6\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）+6$；
∵$θ∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$（2θ-\frac{π}{4}）∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$；
∴$2θ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$时，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$取最大值$6\sqrt{2}+6$．

点评 考查平面上点的坐标的求法，根据点的坐标得出向量坐标，向量坐标的加法和数量积运算，根据向量坐标能求向量长度，以及二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，熟悉正弦函数的最值．