已知函数f(x)=mx3+nx2的图像在处的切线与x轴平行. (1)求n.m的关系式并求f(x)的单调减区间, (2)证明:对任意实数0<x1<x2<1, 关于x的方程: 在恒有实数解的结论.其实我们有拉格朗日中值定理:若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数.且在区间(a,b)内导数都存在.则在(a,b)内至少存在一点x0.使得.如我们所学过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.

（1）求n，m的关系式并求f(x)的单调减区间；

（2）证明：对任意实数0<x1<x2<1, 关于x的方程：

在（x1,x2）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

当0<a<b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）

解：(1)因为f’(x)=3mx2+2nx,

由已知有f’(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m

即f’(x)=3mx2-6mx,由f’(x)>0知mx(x-2)>0.

当m>0时得x<0或x>2，f(x)的减区间为（0，2）；

当m<0时得：0<x<2,f(x)的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；

综上所述：当m>0时，f(x)的减区间为（0，2）；

当m<0时,f(x)的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；

可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)= 3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2-

则h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3),

即h(x1)h(x2)=-(x1-x2)2(2x1+x2-3)(x1+2x2-3) 又因为0<x1<x2<1,所以(2x1+x2-3)<0,(x1+2x2-3)<0, 即h(x1)h(x2)<0, -

故h(x)=0在区间(x1,x2)内必有解，

即关于x的方程在（x1,x2）恒有实数解-

（3）令g(x)=lnx,x∈(a,b)， -----------10分

则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在x0∈（a,b）,使

因为g’(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g’(x)∈(),b-a>0

即

练习册系列答案

领航中考命题调研系列答案