【题目】已知函数,其中
.
(1)设,讨论
的单调性;
(2)若函数在
内存在零点,求
的范围.
【答案】(1)见解析;(2)的取值范围是
.
【解析】试题分析:(1)求导可以得到,分
三种情况讨论导数的符号.(2)计算可以得到
,其导数为
,我们需要讨论
的符号,故需再构建新函数
,其导数为
,结合原函数
的形式和
的形式,我们发现当
时
恒成立;当
时,
在
上有极小值点
,结合
可知
在
上有零点;当
时,
恒成立,结合
可知,
在
上也是恒成立的,故而
在
上递增
恒成立.
解析:(1)定义域
故 则
若,则
在
上单调递减;
若,则
.
(i) 当 时,则
,因此在
上恒有
,即
在
上单调递减;
(ii)当时,
,因而在
上有
,在
上有
;因此
在
上单调递减,在
单调递增.
(2)设 ,
,设
,
则 .
先证明一个命题:当时,
.令
,
,故
在
上是减函数,从而当
时,
,故命题成立.
若 ,由
可知,
.
,故
,对任意
都成立,故
在
上无零点,因此
.
(ii)当,考察函数
,由于
在
上必存在零点.设
在
的第一个零点为
,则当
时,
,故
在
上为减函数,又
,
所以当 时,
,从而
在
上单调递减,故在
上恒有
。即
,注意到
,因此
,令
时,则有
,由零点存在定理可知函数
在
上有零点,符合题意.
(iii)若,则由
可知,
恒成立,从而
在
上单调递增,也即
在
上单调递增,因此
,即
在
上单调递增,从而
恒成立,故方程
在
上无解.
综上可知, 的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】全集,非空集合
,且
中的点在平面直角坐标系
内形成的图形关于
轴、
轴和直线
均对称.下列命题:
①若,则
;
②若,则
中至少有8个元素;
③若,则
中元素的个数一定为偶数;
④若,则
.
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[-2,0)时,f(x)=-1,若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)在区间(-2,6)内恰有4个不等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B. (1,4)
C. (1,8) D. (8,+∞)
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【题目】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且
.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入﹣年总成本)
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线
,直线
.
(1)将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、
倍后得到曲线
,请写出直线
,和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线经过点
且
,
与曲线
交于点
,求
的值.
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【题目】【2018届辽宁省凌源市高三上学期期末】随着科技的发展,手机成为人们日常生活中必不可少的通信工具,现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机.为了调查某地区高中生一周内使用手机的频率,某机构随机抽查了该地区100名高中生某一周内使用手机的时间(单位:小时),所取样本数据分组区间为,由此得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值;
(2)从使用手机时间在的四组学生中,用分层抽样方法抽取13人,则每组各应抽取多少人?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,为了解网络外卖在市的普及情况,
市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到表格(单位:人).
(1)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?
(2)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出了3人赠送外卖优惠券,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率;
②将频率视为概率,从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为
,求
的数学期望和方差.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数,若,则称
为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数
,给出下面4个命题:①对任意
,都有
;②对任意
,都有
;③对任意
,都有
,
;④对任意
,都有
.其中所有真命题的序号是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
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