Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x-2），则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

• A、（-2，0）∪（0，2）
• B、（-∞，-2）∪（0，2）
• C、（-2，0）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：依据条件求出x＜0时函数的解析式，可得函数的图象．不等式即

x＞0 f(x)＞0

①，或

x＜0 f(x)＜0

②．分别求得解①和②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：设x＜0，则-x＞0，
∵x≥0时，f（x）=x（x-2），
∴f（-x）=-x（-x-2）．
再根据函数为奇函数可得-f（x）=-x（-x-2），
∴f（x）=-x（x+2）．
再由奇函数的性质可得f（0）=0，从而可得函数f（x）的图象：
如图所示：
由不等式xf（x）＞0可得

x＞0 f(x)＞0

 ①，或

x＜0 f(x)＜0

 ②．
解①求得x＞2，解②求得x＜-2．
故原不等式的解集为（-∞，-2）∪（2，+∞），
故选：D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，求函数的解析式，解一元二次不等式，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．