Question

2．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”若两只老鼠打洞长度之和为33-$\frac{1}{{2}^{4}}$尺，则两老鼠打洞的天数是5．

Answer 1

分析 据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得S_n．

解答 解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为S₁=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
前n天打洞之和为S₂=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴两只老鼠打洞长度之和S=S₁+S₂=2ⁿ+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S=2ⁿ+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
当S=33-$\frac{1}{{2}^{4}}$，即2ⁿ+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=33-$\frac{1}{{2}^{4}}$，
解得n=5，
故答案为：5．

点评 本题考查根据实际问题构造等比数列，并求等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．