Question

已知数列满足，，，且．

（1）求证：当时，数列为等比数列；

（2）如果，求数列的前项和；

（3）如果表示不超过的最大整数，当时，求数列的通项公式．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意构造新数列，利用证明新数列的后一项与前一项之比为常数即可；（2）利用分组求和法与错位相减法进行求和；（3）找出的通项，利用二项式定理进行求解.

试题解析：（1）当时，设，

则 当时，．

因为 ，

所以 为常数．

因为 ，

所以 数列是首项为，公比为的等比数列． 4分

（2）由（1）知 时为首项为，公比为的是等比数列，

所以． ．

设，

则．

相减得．

设，

．

即． 9分

（3）由（1）可知．

设，

由二项式定理可知为整数，

所以 ．

所以.

考点：1.数列的递推公式；2.等差数列；3.错位相减法；4.二项式定理.