Question

如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°．BC=2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，

CM

MP

=

BN

NA

=2．
（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PA⊥平面ABCD，∠PDA=60°，且PD=DC=BC=2，求二面角B-AM-C的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由已知AD∥BC，推断出OC：OA=BC：AD=2，进而可知NO∥BC∥AD，在△PAD中，根据OC：OA=BC：AD=2，CM=2MP，推断出OM∥AP进而可证明平面MNO∥平面PAD．
 （Ⅱ）先由余弦定理求得PA，推断出PA²+AD²=PD²，可知PA⊥AD，又利用平面PDA⊥平面ABCD推断出PA⊥平面ABCD，进而建立如图，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得AB，则有A，B，C，D，P的坐标可知，由

PM

=

1

3

PC

，求得得

AM

AB

，

AC

的坐标，设平面ABM的法向量为M₁=（a，b，c），由

m1 AB =0 m1• AM =0

，得

3 b=0 2a+ 3 b+2 3 c=0

，令c=-

3

，解得a和b，得到m₁，同理可求得平面ACM的法向量为m₂设二面角B-AM-C的平面角为θ，利用平面向量的数量积的运算求得cosθ．

解答： 证明（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴OC：OA=BC：AD=2，
又BN=2NA，
∴NO∥BC∥AD
在△PAD中，∵OC：OA=BC：AD=2，CM=2MP，
∴OM∥AP
∴OM∥平面PAD，
∵NO∥AD，且ON∩OM=0，ON?平面MNO，OM?平面MNO，
∴平面MNO∥平面PAD；                                          
（Ⅱ）在△PAD中，PA²=PD²+AD²-2PD•ADcos∠PDA=3
∴PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD，又平面PDA⊥平面ABCD
∴PA⊥平面ABCD，而∠BAD=90°
故，如图，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
在梯形ABCD中，CD=BC=2AD=2，∠BAD=90°，
∴AB=

3

，
则有A（0，0，0），B（0，

3

，0），C（2，

3

，0），D（1，0，0），P（0，0，

3

），
由

PM

=

1

3

PC

，得

AM

=

1

3

PC

+

AP

=（

2

3

，

3

3

，

2 3

3

），

AB

=（0，

3

，0），

AC

=（2，

3

，0），
设平面ABM的法向量为M₁=（a，b，c），由

m1 AB =0 m1• AM =0

，得

3 b=0 2a+ 3 b+2 3 c=0

，令c=-

3

，解得b=0，a=3，
∴m₁=（3，0，-

3

）
同理，可得平面ACM的法向量为m₂=（3，-2

3

，0）
设二面角B-AM-C的平面角为θ，易知0＜θ＜

π

2

，
∴cosθ=

|m1m2|

|m1|•|m2|

=

3 7

14

．

点评：本题主要考查了面面平行的判定，线面垂直的性质，空间向量的相关知识．考查了学生分析推理和运算的能力．