Question

（Ⅰ）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B＜

π

2

；（提示：可以利用反证法证明）
（Ⅱ）设x＞0，y＞0，求证：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）反证法，假设B≥

π

2

，则b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0，于是

2

b

＜

1

a

+

1

c

，与

2

b

=

1

a

+

1

c

矛盾；
（Ⅱ）利用分析法进行证明即可．

解答： 证明：（I）由题意得：

2

b

=

1

a

+

1

c

．
假设B≥

π

2

，故在△ABC中角B是最大角，
从而b＞a，b＞c，所以

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

，
于是

2

b

＜

1

a

+

1

c

，与

2

b

=

1

a

+

1

c

矛盾．
故B＜

π

2

；
（II）∵x＞0，y＞0，
∴要证明：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

，
只需证明：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．
即证x²y²（3x²-2xy+3y²）＞0，
只需证明3x²-2xy+3y²＞0，
∵3x²-2xy+3y²=2x²+2y²+（x-y）²＞0，
∴不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查分析法、反证法的运用，属于中档题．