Question

已知f（x）=sin²x+sinxcosx，x∈[0，

π

2

]
（1）求f（x）的值域；
（2）若f（α）=

5

6

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式：f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，然后，根据x∈[0，

π

2

]，求解f（x）的值域；
（2）根据（1）的函数解析式，因为sin2α=sin（2α-

π

4

+

π

4

），先求解cos（2α-

π

4

）=

7

3

，然后求解．

解答： 解：（1）f（x）=sin²x+sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）有最小值0．当2x-

π

4

=

π

2

时，f（x）有最大值

2 +1

2

．
f（x）值域：[0，

2 +1

2

]．
（2）f（α）=

2

2

sin（2α-

π

4

）+

1

2

=

5

6

，得
sin（2α-

π

4

）=

2

3

，
∵α∈[0，

π

2

]，
∴2α-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
又∵0＜sin（2α-

π

4

）=

2

3

＜

2

2

，
∴2α-

π

4

∈（0，

π

4

），
得cos（2α-

π

4

）=

1-( 2 3 )2

=

7

3

，
∴sin2α=sin（2α-

π

4

+

π

4

）
=

2

2

[sin（2α-

π

4

）+cos（2α-

π

4

）]
=

2+ 14

6

．
∴sin2α的值

2+ 14

6

．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、辅助角公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．