Question

无重复数字的五位数a₁a₂a₃a₄a₅，当a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅时称为波形数，则由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为

 

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Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,新定义,概率与统计

分析：特殊元素是a₂和a₅，先考虑a₂，再考虑a₅，当a₂=3、4、5 时，分别求出a₅的值及其它值的情况，最后，把几种情况得到的结果求和求出波形数的个数，
再求出由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数的个数，代入古典概型的概率公式计算．

解答： 解：∵a₂＞a₁、a₃ ；a₄＞a₃、a₅，∴a₂只能是3、4、5．
（1）若a₂=3，则a₄=5，a₅=4，a₁与a₃是1或2，这时共有A₂²=2个符合条件的五位数．
（2）若a₂=4，则a₄=5，a₁、a₃、a₅可以是1、2、3，共有A₃³=6个符合条件的五位数．
（3）若a₂=5，则a₄=3或4，此时分别与（1）（2）情况相同．
∴满足条件的五位数有2（A₂²+A₃³）=16个，
又由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数有1×2×3×4×5=120个，
∴波形数的概率为

2

15

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故答案为：

2

15

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点评：本题考查排列及排列数公式的应用，考查了古典概型的概率计算，体现分类讨论的数学思想．