Question

已知正△ABC的边长为3，P₁是边AB上的一点且BP₁=1，从P₁向BC作垂线，垂足为Q₁，从Q₁向CA作垂线，垂足为R₁，从R₁向AB作垂线，垂足为P₂．再从P₂重复同样作法，依次得到点Q₂，R₂，P₃，Q₃，R₃，…P_n，Q_n，R_n，…，设BP_n=a_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a_n+1与a_n关系式；
（Ⅱ）求数列{na_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（Ⅰ）利用多个直角三角形中的边角关系，求出边BP_n与BP_n+1 的关系，即a_n+1与a_n关系；（Ⅱ）利用已得的递推关系，构造新的等比数列，通过新数列的通项公式，得到数列{a_n}的通项公式，再对数列{a_n}分组求和，其中部分数列用错位相减法求和，得到本题的结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意：BP_n=a_n，BP_n+1=a_n+1，
则BQn=BPncos60°=

1

2

an，
QnC=3-

1

2

an，
CRn=QnCcos60°=

1

2

(3-

1

2

an)，
ARn=3-CRn=

3

2

+

1

4

an，
APn+1=ARncos60°=

1

2

ARn=

3

4

+

1

8

an，
∴BPn+1=3-APn+1=

9

4

-

1

8

an，
即an+1=-

1

8

an+

9

4

 (n∈N*)．
（Ⅱ）由即an+1=-

1

8

an+

9

4

 (n∈N*)，得到：an+1-2=-

1

8

(an-2)，
∴{a_n-2}是以a₁-2=-1为首项，公比为-

1

8

的等比数列．
∴an-2=-(-

1

8

)n-1，即an=2-(-

1

8

)n-1 (n∈N*)．
∴nan=2n-n(-

1

8

)n-1，则
Sn=2(1+2+3+…+n)-[1•(-

1

8

)0+2•(-

1

8

)1+…+n(-

1

8

)n-1]，
令Tn=1•(-

1

8

)0+2•(-

1

8

)1+…+n(-

1

8

)n-1，
-

1

8

Tn=1•(-

1

8

)1+2•(-

1

8

)2+…+n•(-

1

8

)n，
两式相减得：

9

8

Tn=1+(-

1

8

)+(-

1

8

)2+…+(-

1

8

)n-1-n(-

1

8

)n=

1-(- 1 8 )n

1-(- 1 8 )

-n(-

1

8

)n，
∴Tn=

64+(9n+8)(- 1 8 )n-1

81

．
∴Sn=n(n+1)-

(9n+8)(- 1 8 )n-1

81

．

点评：本题考查了解三角形、构造新数列、分组求和法、等差数列求和、错位相减法求和等知识点，本题的思维质量高，计算量较大，属于难题．