Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，c_n=

2

bnbn+1

，记数列{c_n}的前n项和为T_n．若对于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由5S₁，S₃，3S₂成等差数列，利用性质建立方程，再用首项与公比将此方程转化为关于公比的等式，解出公比的值得出通项；
（2）依次求出b_n、c_n，根据所得出的形式，裂项求和即可．

解答： 解：（1）设{a_n}的公比为q．
∵5S₁，S₃，3S₂成等差数列，∴2S₃=5S₁+3S₂．
即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q)，化简得2q²-q-6=0，
解得：q=2或q=-

3

2

．由已知，q=2．∴an=2n．…（6分）
（2）由b_n=log₂a_n得bn=log22n=n．
∴cn=

2

bnbn+1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)．…（9分）
∴Tn≤λ(n+4)?λ≥

2n

(n+1)(n+4)

=

2

n+ 4 n +5

…（12分）
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，当且仅当n=

4

n

即n=2时等号成立，
∴

2

n+ 4 n +5

≤

2

9

．
∴实数λ的取值范围是[

2

9

，+∞)．…（14分）

点评：本题考查等差数列的性质，求和公式，数列求和的技巧，不等式恒成立的转化，综合性质较强，解答时要细致认真，才能解答完整．