Question

函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA，（x∈R）在x=

5π

12

处取得最大值，且A∈[0，π]．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）对函数解析式化简整理利用x=

5π

12

处取得最大值确定A的值．
（Ⅱ）利用A的值可得函数解析式，进而根据x的范围和三角函数的性质求得函数在区间上的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA
=sin（2x-A），
∵f（x）在x=

5π

12

处取得最大值，
∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴A=-2kπ+

π

3

，k∈Z，
∵A∈[0，π]，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-

π

3

），
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴（2x-

π

3

）∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值分别为

3

2

，-1

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了基础知识的综合运用．