Question

（2006•崇文区一模）若（1+2^x）⁷展开式的第三项为168，则

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

2

．

Answer 1

分析：由题意，可先由二项式通项公式得到C₇²2^2x=168，解得x=

3

2

，代入

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n]，再由等比数列的求和公式求和，即可求得极限值得到答案

解答：解：由题意，C₇²2^2x=168，解得x=

3

2

∴

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n]=

lim

n→∞

2 3 ×(1-( 2 3 )n)

1- 2 3

=

lim

n→∞

2×(1-(

2

3

)n)=2
故答案为2

点评：本题考查数列的极限，考查了二项式的通项，等比数列的前n项和公式，其中由二项式的通项建立方程解出x的值是解题的关键，本题考查了方程的思想，考查了计算能力