Question

设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．

（1）求常数的值；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.

Answer 1

 解：(1) 对求导得：，根据条件知，所以.                                    ……………2分

(2) 由(1)得，

.

① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；

②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；

③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，[]

即而且仅有.

综上可知，所求实数的取值范围是.          ……………8分       

(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

对于任意的正整数，不等式恒成立.  并且继续作如下等价变形

              

                             

对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有.

取，得：对于任意正整数都有成立；

对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有.

取，得：对于任意正整数都有成立.

因此对于任意正整数，不等式恒成立