Question

6．已知函数g（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在区间[1，3]上有最大值5，最小值1；设$f（x）=\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若$f（|lgx-1|）+k•\frac{2}{|lgx-1|}-3k≥1$对任意x∈[1，10）∪（10，100]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据g（x）的单调性，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；
（2）令t=|lgx-1|，则t∈（0，1]，问题转化为$t+\frac{2+2k}{t}-3k-3≥0$对任意t∈（0，1]恒成立，令$h（t）=t+\frac{2+2k}{t}-3k-3$，t∈（0，1]，通过讨论k的范围，结合函数的单调性，确定k的具体范围即可．

解答 解：（1）g（x）=a（x-1）²+b-a，因为a＞0，所以g（x）在区间[1，3]上是增函数，
故$\left\{{\begin{array}{l}{g（1）=1}\\{g（3）=5}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$．
（2）由已知可得$f（x）=x+\frac{2}{x}-2$，$f（|lgx-1|）+k•\frac{2}{|lgx-1|}-3k≥1$，
即$|lgx-1|+\frac{2}{|lgx-1|}-2+\frac{2k}{|lgx-1|}-3k≥1$，
令t=|lgx-1|，则t∈（0，1]，$t+\frac{2+2k}{t}-3k-3≥0$对任意t∈（0，1]恒成立，
令$h（t）=t+\frac{2+2k}{t}-3k-3$，t∈（0，1]，则：
①当k=-1时，h（t）=t≥0成立；
②当k＜-1时，$h（t）=t+\frac{2+2k}{t}-3k-3$在（0，1]上为增函数，t→0⁺时，h（t）→-∞，舍去；
③当k＞-1时，h（t）在$（0，\sqrt{2+2k}]$上为减函数，在$[\sqrt{2+2k}，+∞）$上为增函数，
若$\sqrt{2+2k}＜1$，即$-1＜k＜-\frac{1}{2}$时，$h{（t）_{min}}=h（\sqrt{2+2k}）=2\sqrt{2+2k}-3k-3≥0$，
得$-1≤k≤-\frac{1}{9}$，∴$-1＜k＜-\frac{1}{2}$．
若$\sqrt{2+2k}≥1$，即$k≥-\frac{1}{2}$时，h（t）在（0，1]上为减函数，h（t）_min=h（1）=-k≥0，
∴$-\frac{1}{2}≤k≤0$，
综上，k的取值范围为[-1，0]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、求函数的最值问题，考查换元思想、分类讨论思想，是一道综合题．