Question

18．已知函数$f（x）=1-\frac{{m{e^x}}}{{{x^2}+x+1}}$，若存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）≥0，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{13}{e^3}，\frac{7}{e^2}]$
• B． $（\frac{13}{e^3}，\frac{7}{e^2}]$
• C． $[\frac{7}{e^2}，\frac{3}{e}]$
• D． $（\frac{7}{e^2}，\frac{3}{e}]$

Answer 1

分析 由题意，f（x）=0，可得m=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，确定函数的单调性，结合存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）≥0，x=1时，m=$\frac{3}{e}$，x=2时，m=$\frac{7}{{e}^{2}}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，f（x）=0，可得m=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，
∴m′=$\frac{-x（x-1）}{{e}^{x}}$，
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∵存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）≥0，x=1时，m=$\frac{3}{e}$，x=2时，m=$\frac{7}{{e}^{2}}$，
∴$\frac{7}{{e}^{2}}$＜m≤$\frac{3}{e}$，
故选：D．

点评 本题考查特称命题，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．