Question

如图是一个计算机装置示意图，J₁，J₂是数据入口处，C是计算机结果的出口，计算过程是由J₁，J₂分别输入正整数m和n，经过计算后的结果由C输出．此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
①若J₁，J₂分别输入1，则输出结果为1；
②若J₂输入1，J₁输入正整数增大1，则输出结果为原的2倍．③若J₁输入任何固定正整数不变，J₂输入正整数增大1，则输出结果比原减小1；
（1）若J₁输入正整数m，J₂输入1，则输出结果为多少？
（2）若J₁输入正整数m，J₂输入正整数n，则输出结果为多少？
（3）若J₁与J₂依次输入相同的正整数3，4，5，…，n（n≥3），求证：输出结果的倒数和小于1．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）f （1，1），f （2，1），…，f （m，1），…，组成以f （1，1）为首项，2为公比的等比数列；
（2）f（m，n+1）=f（m，n）-1，所以f（m，1），f（m，2），f（m，3），…，f（m，n），…，组成以f（m，1）为首项，-1为公差的等差数列，由等差数列，等比数列通项公式即可求得．
（3）当n≥3时，f（n，n）＞2f（n-1，n-1）＞4f（n-2，n-2）＞…＞2^n-3f（3，3）=2^n-2，即可证明．

解答： 解：（1）因为f （m+1，1）=2f （m，1），于是f （1，1），f （2，1），…，f （m，1），…，组成以f （1，1）为首项，2为公比的等比数列，
∴有f （m，1）=f （1，1）?2^m-1=2^m-1．                                     …3分
（2）因为f（m，n+1）=f（m，n）-1，所以f（m，1），f（m，2），f（m，3），…，f（m，n），…，组成以f（m，1）为首项，-1为公差的等差数列，
∴f（m，n）=f（m，1）-（n-1）=2^m-1-（n-1）．                               …7分
（3）由（2）知：f（n，n）=2^n-1-（n-1），则f（n+1，n+1）=2ⁿ-n，则f（n+1，n+1）-2f（n，n）=n-2＞0（n≥3），
∴当n≥3时，f（n，n）＞2f（n-1，n-1）＞4f（n-2，n-2）＞…＞2^n-3f（3，3）=2^n-2，
∴

1

f(3，3)

+

1

f(4，4)

+…+

1

f(n，n)

≤

1

2

+

1

4

+…

1

2n-2

=

1 2 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

＜1．…13分．

点评：本题解题的思想是类比特征，看作是数列问题，利用数列知识求解．