Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求异面直线A₁D与D₁C所成的角；
（2）求证：面AA₁C₁C⊥面A₁BD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件得A₁BCD₁是平行四边形，所以∠BA₁D是异面直线A₁D与D₁C所成的角，由此能求出异面直线A₁D与D₁C所成的角．
（2）由正方形性质得BD⊥AC，由线面垂直的判定定理得BD⊥面AA₁C₁C，由此能证明面AA₁C₁C⊥面A₁BD．

解答： （1）解：因为A₁D₁=BC且A₁D₁∥BC，
所以A₁BCD₁是平行四边形，则D₁C∥A₁B，
所以∠BA₁D是异面直线A₁D与D₁C所成的角，
因为A₁D=D₁C=BD，所以∠BA₁D=60°．
（2）证明：因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因为BD⊥CC₁，AC∩CC₁=C，所以BD⊥面AA₁C₁C，
因为BD?面A₁BD，
所以面AA₁C₁C⊥面A₁BD．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查面面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．