Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的直四棱柱，且A₁B₁=1，AA₁=2，求：
（1）异面直线BD与AB₁所成的角的余弦值；
（2）四面体AB₁D₁C₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：（1）连接C₁D、C₁B，可得四边形AB₁C₁D是平行四边形，所以∠BDC₁或其补角就是异面直线BD与AB₁所成角．再利用余弦定理，即可求出异面直线BD与AB₁所成的角的余弦值；
（2）根据题意，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，即可求出四面体AB₁D₁C₁的体积．

解答： 解：（1）连接C₁D、C₁B
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，
∴四边形AB₁C₁D是平行四边形
因此AB₁∥C₁D，可得∠BDC₁或其补角就是异面直线BD与AB₁所成角
∵A₁B₁=1，AA₁=2，∴BD=

2

，BC₁=DC₁=

5

，
∴cos∠BDC₁=

2+5-5

2• 2 • 5

=

10

10

，
即异面直线BD与AB₁所成的角的余弦值为

10

10

；
（2）根据题意，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴四面体AB₁D₁C₁的体积为

1

3

•

1

2

•1•1•2=

1

3

．

点评：本题在正四棱柱中求异面直线所成角，并求四面体的体积，着重考查了正棱柱的性质、异面直线所成角和体积的求法等知识，属于基础题．