Question

对于任意正整数n，猜想2^n-1与（n+1）²的大小关系，并给出证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：对n=1，2，3，4，…取值验证或借助于函数y=2^x与y=x²的图象，找出最小的正整数m等于6，再按照数学归纳法的步骤进行证明．

解答： 解：当n=1时2^1-1＜（1+1）² ，
当n=2时，2^2-1=2＜（2+1）² ，
当n=3时，2^3-1=4＜（3+1）² ，
当n=4时2^4-1＜（4+1）² ，
当n=5时2^5-1＜（5+1）² ，
当n=6时  2^6-1＜（6+1）²，
当n=7时  2^7-1=（7+1）² …（2分）
n=8，9，10，…时，2^n-1＞（n+1）²，
猜想n≥8时，2^n-1＞（n+1）²． …（4分）
证明：①当n=8时，由以上知结论成立；
②假设当n=k（k＞8）时，2^k-1＞（k+1）²，
则n=k+1时，2^（k+1）-1=2^1+（k+1）=2•2^k-1＞2（k+1）²．而2（k+1）²-（k+2）²=k²-2，∵k≥9∴k²-2＞0，
所以2（k+1）²-（k+2）²＞0，
即2（k+1）²＞（k+2）²，即2^（k+1）-1＞（k+2）²，即n=k+1时，结论成立，
由①，②知，对任意n≥8，结论成立．

点评：本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．注意证明的步骤的应用．