Question

设函数f（x）=lnx．给出下列命题：
①对?0＜x₁＜x₂，?x₀∈（x₁，x₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

；
②对?x₁＞0，x₂＞0，都有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
③当x₁＞1，x₂＞1时，都有0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1；
④若a＜-1，则f（x）＞

x+a

x

（x＞0）．
其中正确命题的序号是

 

（填上所有正确命题序号）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：①利用割线的斜率判断．②利用函数的凸凹性判断．③利用导数的几何意义、以及切线与割线的斜率的关系．④根据不等式构造函数，再转化为利用导数求函数的最值进行证明．

解答： 解：因为

f(x1)-f(x2)

x1-x2

表示过（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂））两点的直线的斜率，
①f′（x）=

1

x

，则f′(x0)=

1

x0

，表示在x=x₀处的切线斜率，由图象可知过x₁与x₂两点的割线和过x₀点的切线可能平行，
所以①正确．
②满足f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

的函数为凸函数，
所以②正确．
③因为函数的导数为f′（x）=

1

x

，
则当x＞1时，0＜f′（x）=

1

x

＜1，
即此时切线的斜率小于1，
所以对应的割线的斜率也小于1，所以0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立，所以③正确．
④令g（x）=lnx-

x+a

x

=lnx-1-

a

x

，（x＞0）
则g′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
∵a＜-1，∴g′（x）=0时，得x=-a，
当x∈（0，-a）时，g′（x）＜0，当x∈（-a，+∞）时，g′（x）＞0，
∴x=-a时，函数g（x）取得最小值ln（-a），
由a＜-1得，ln（-a）＞ln1=0，
∴g(x)=lnx-

x+a

x

＞0，即f（x）＞

x+a

x

（x＞0），所以④正确，
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查了导数的几何意义以及函数的图象，构造函数法证明不等式成立，以及导数与函数的最值问题，利用数形结合是解决本题的关键，难度很大．