Question

16．等差数列{a_n}中，a₁=2，公差为d≠0，S_n其前n项的和，且S_2n=4S_n（n∈N⁺）恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{4}{{\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+1}}}}}$（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式可得S₂=4S₁，继而求出公差d，再写出通项公式即可，
（2）化简b_n=$\sqrt{4n+2}$-$\sqrt{4n-2}$，累加求和即可

解答 解：（1）S_2n=4S_n（n∈N⁺）恒成立，
∴S₂=4S₁，
∴2a₁+d=4a₁，
∴d=2a₁=4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=4n-2，（n∈N⁺）
（2）∵b_n=$\frac{4}{{\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+1}}}}}$=$\frac{4}{\sqrt{4n-2}+\sqrt{4n+2}}$=$\sqrt{4n+2}$-$\sqrt{4n-2}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$+$\sqrt{14}$-$\sqrt{10}$+$\sqrt{4n+2}$-$\sqrt{4n-2}$=$\sqrt{4n+2}$-$\sqrt{2}$

点评 本题考查了数列的递推公式和累加法，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题