Question

6．某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，营业员小孙随机记录了该店3月份上旬中某5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：

x	2	5	8	9	11
y	12	10	8	8	7

（1）求y关于x的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）若天气预报明天的最低气温为12℃，用所求回归方程预测该店明天的营业额；
（3）设该地3月份的日最低气温X～N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差，求P（0.6＜X＜10.2）．
附：（1）回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{n}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
2²+5²+8²+9²+11²=295，2×12+5×10+8×8+9×8+11×7=287．
（2）$\sqrt{10}$=3.2；若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827．P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545．

Answer 1

分析 （1）求出回归系数，即可求y关于x的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）x=12时，$\widehat{y}$=-0.56×12+12.92=6.2，即可预测该店明天的营业额；
（3）X～N（7，10），P（0.6＜X＜10.2）=P（0.6＜X＜7）+P（7＜X＜10.2）=

解答 解：（1）根据题意，计算$\overline x=\frac{1}{5}×（2+5+8+9+11）=7$，$\overline y=\frac{1}{5}×（12+10+8+8+7）=9$，…（2分）
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x^2}_i-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{287-5×7×9}{295-5×7×7}=-0.56$，…（4分）
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=9-（-0.56）×7=12.92$，
∴y关于x的回归直线方程$\widehat{y}$=-0.56x+12.92；   …（6分）
（2）x=12时，$\widehat{y}$=-0.56×12+12.92=6.2，
预测该店明天的营业额为6200元；    …（8分）
（3）由题意，平均数为μ=7，方差为σ²=10，
所以X～N（7，10），…（10分）
所以P（0.6＜X＜10.2）=P（0.6＜X＜7）+P（7＜X＜10.2）=$\frac{1}{2}×0.9545+\frac{1}{2}×0.6827=0.8186$． …（12分）

点评 本题考查了回归直线方程和正态分布的应用问题，是综合题．